задание 1
Планиметрия: треугольники, четырёхугольники, окружность
Вычисления в треугольниках, параллелограммах, трапециях и окружностях: углы, стороны, радиусы описанной и вписанной окружностей. Решение обычно опирается на одну-две ключевые теоремы.
задание 2
Векторы: координаты, длина, скалярное произведение
Действия с векторами в координатах: сумма, разность, умножение на число, длина и скалярное произведение. Координаты иногда нужно снять с рисунка по узлам сетки.
задание 3
Стереометрия: объёмы и подобие тел
Объёмы и площади поверхностей многогранников и тел вращения, отношения объёмов подобных тел, вытесненная жидкость. Важно помнить, что объём меняется как куб коэффициента подобия.
задание 4
Классическая вероятность
Классическое определение вероятности: подсчёт равновозможных исходов, в том числе при бросании монет и кубиков. Удобно выписывать все исходы, чтобы не пропустить варианты.
задание 5
Теоремы о вероятностях событий
Сложение и умножение вероятностей, независимые события, формула полной вероятности. Главная сложность - понять, когда события несовместны, а когда независимы.
задание 7
Простейшие уравнения
Простейшие уравнения разных типов: рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические. Нужно помнить про область допустимых значений и выбор нужного корня.
задание 6
Случайные величины: распределение, ожидание и дисперсия
От таблицы вероятностей к среднему результату и разбросу значений.
задание 8
Преобразования степеней, корней и логарифмов
Преобразование и вычисление выражений со степенями, корнями и логарифмами, включая основное логарифмическое тождество и переход к новому основанию.
задание 8
Тригонометрические выражения
Вычисление значений тригонометрических выражений: основное тождество, формулы приведения и двойного угла. Знак функции определяется по четверти, в которой лежит угол.
задание 9
Производная: геометрический и физический смысл
Геометрический и физический смысл производной: угловой коэффициент касательной, скорость движения, связь графика производной с возрастанием и экстремумами функции.
Открытая тема задание 10
Задачи с прикладным содержанием
Задачи из физики и экономики, сводящиеся к уравнению или неравенству по заданной формуле. Нужно понять, какую величину ищем, и отобрать ответ, подходящий по смыслу.
задание 11
Текстовые задачи: движение, работа, смеси
Текстовые задачи на движение по реке и по кругу, совместную работу, смеси и сплавы. Решаются составлением уравнения, часто квадратного, с отбором положительного корня.
задание 12
Графики функций: чтение и восстановление формулы
Восстановление формулы функции по графику: линейной, квадратичной, гиперболы, корня, показательной и логарифмической. Коэффициенты находят по точкам графика в узлах сетки.
задание 9
Исследование функции с помощью производной
Поиск точек экстремума и наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке с помощью производной. Встречаются многочлены, дроби, корни, экспонента и логарифм.
Открытая тема задание 14
Тригонометрические уравнения и отбор корней
Решение тригонометрических уравнений сведением к простейшим и отбор корней на заданном отрезке. Отбор делают по единичной окружности или через двойное неравенство.
задание 14
Показательные и логарифмические уравнения с отбором корней
Показательные и логарифмические уравнения, которые сводятся к квадратным заменой переменной, с последующим отбором корней на промежутке. Важно не потерять ограничения на замену.
задание 15
Стереометрия: доказательство и вычисление
Стереометрическая задача в два шага: доказать утверждение о взаимном расположении прямых и плоскостей, затем найти угол, расстояние, площадь сечения или объём.
задание 16
Показательные, логарифмические и рациональные неравенства
Решение показательных, логарифмических и дробно-рациональных неравенств методом интервалов и заменой переменной. Часто ошибаются, забывая про область определения логарифма.
задание 17
Оптимизация модели реальной ситуации
Построение целевой функции, допустимая область, доказательство оптимальности и проверка реализуемости.
задание 13
Финансовая математика: кредиты и вклады
Экономические задачи о кредитах и вкладах: аннуитетные и дифференцированные платежи, начисление процентов, поиск суммы или срока. Удобно вести таблицу долга по периодам.
задание 18
Планиметрия: доказательство и вычисление
Планиметрическая задача с доказательством и вычислением: подобие, вписанные углы, свойства биссектрис и касательных, площади. Вторая часть обычно опирается на доказанный факт.
задание 19
Уравнения и системы с параметром
Уравнения, неравенства и системы с параметром: нужно найти значения, при которых решений заданное число. Помогают графический метод, симметрия и исследование квадратного трёхчлена.
задание 20
Числа и их свойства
Задачи о свойствах целых чисел: делимость, чётность, суммы и средние значения. Ответ на вопросы да или нет подкрепляется примером или доказательством, а в последнем пункте нужна оценка.
