Производная: точки экстремума и наибольшее значение функции

Производная нужна в профильном экзамене сразу в двух заданиях первой части: в задании 8 её смысл читается по графику, а в задании 12 с её помощью ищут точки максимума и минимума и наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке. В этом уроке соберём всё необходимое в одну схему.

Что показывает производная

Производная $f'(x_0)$ равна скорости изменения функции в точке $x_0$. Геометрически это угловой коэффициент касательной к графику в этой точке: $f'(x_0) = k = \operatorname{tg}\alpha$, где $\alpha$ обозначает угол наклона касательной к оси $Ox$. Физически это мгновенная скорость: если $x(t)$ задаёт координату точки, то $v(t) = x'(t)$.

Главное следствие: знак производной показывает, растёт функция или убывает.

Таблица производных, которая нужна чаще всего

Правила: производная суммы равна сумме производных, постоянный множитель выносится, а для произведения и сложной функции действуют формулы

Точки максимума и минимума

Точка максимума находится там, где функция перестаёт расти и начинает убывать, то есть производная меняет знак с плюса на минус. В точке минимума знак меняется с минуса на плюс. Если производная обращается в ноль, но знак не меняет, экстремума нет. Например, у функции $y = x^3$ производная $3x^2$ равна нулю в точке 0, но точка 0 не является ни максимумом, ни минимумом.

Алгоритм для задания «найдите точку максимума»:

1) найти производную; 2) найти точки, где она равна нулю или не существует; 3) отметить эти точки на прямой и определить знак производной на каждом промежутке; 4) выбрать точку, где знак меняется с плюса на минус. В ответ пишется абсцисса точки, а не значение функции.

Разобранный пример 1

Условие. Найдите точку максимума функции $y = x^3 - 12x + 7$.

Решение. Производная $y' = 3x^2 - 12 = 3(x - 2)(x + 2)$. Нули: $-2$ и $2$. Проверим знаки: при $x = -3$ получаем $27 - 12 \gt 0$, при $x = 0$ получаем $-12 \lt 0$, при $x = 3$ снова плюс. Схема знаков: плюс, минус, плюс. Смена с плюса на минус происходит в точке $-2$.

Ответ: −2.

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Непрерывная функция на отрезке достигает наибольшего и наименьшего значения либо в точках экстремума внутри отрезка, либо на концах. Поэтому общий способ такой: найти критические точки внутри отрезка, вычислить значения функции в них и на концах, выбрать нужное. Если на отрезке ровно одна точка экстремума, часто достаточно её: единственный максимум на отрезке и будет наибольшим значением.

В экзаменационных задачах ответ почти всегда получается целым или конечной десятичной дробью. Если в критической точке выходит «некрасивое» число, например $\ln 3$ или $e^2$, скорее всего, ответ достигается в другой точке, где сложная часть обращается в ноль или единицу. Это хорошая проверка себя.

Разобранный пример 2

Условие. Найдите наибольшее значение функции $y = 5\ln(x + 5) - 5x$ на отрезке $[-4{,}5;\ 0]$.

Решение. Производная:

На отрезке знаменатель положителен. Производная обращается в ноль при $x = -4$, левее этой точки она положительна, правее отрицательна. Значит, $x = -4$ является точкой максимума, и наибольшее значение равно $y(-4) = 5\ln 1 + 20 = 20$. Для контроля: на концах $y(-4{,}5) = 22{,}5 + 5\ln 0{,}5 \approx 19{,}0$ и $y(0) = 5\ln 5 \approx 8{,}0$, оба меньше 20.

Ответ: 20.

График производной в задании 8

Когда дан график $y = f'(x)$, а спрашивают о самой функции $f$, не путайте графики. Точки максимума $f$ находятся там, где график производной пересекает ось $Ox$ сверху вниз, точки минимума там, где снизу вверх. Промежутки возрастания $f$ соответствуют частям графика производной выше оси. А значение производной в точке, где проведена касательная к графику самой функции, равно угловому коэффициенту касательной: выберите две точки касательной в узлах сетки и разделите приращение $y$ на приращение $x$.

Производная произведения на примере

В задании 12 часто встречаются функции вида $(x - 8)e^{x - 7}$ или $(x^2 - 5x + 5)e^{x}$. Здесь нужна формула производной произведения: первый множитель дифференцируем, второй оставляем, и прибавляем произведение первого множителя на производную второго. Для функции $y = (x - 8)e^{x - 7}$ получаем $y' = e^{x - 7} + (x - 8)e^{x - 7} = (x - 7)e^{x - 7}$. Множитель $e^{x - 7}$ всегда положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком $x - 7$. Этот приём удобен всегда: положительные множители (экспоненту, квадрат, знаменатель на области определения) можно отбросить при исследовании знака.

Физический смысл на примере

Пусть точка движется по закону $x(t) = \frac13 t^3 - 3t^2 + 10t + 5$. Её скорость равна производной координаты: $v(t) = t^2 - 6t + 10$. В момент $t = 5$ скорость равна $25 - 30 + 10 = 5$ м/с. Ускорение равно производной скорости, то есть второй производной координаты: $a(t) = 2t - 6$. Если в задаче спрашивают, в какой момент точка остановилась, приравнивают к нулю скорость, а не координату.

Типичные ошибки

Первая ошибка: в ответ на вопрос о точке максимума записывают значение функции. Точка максимума является значением аргумента $x$.

Вторая ошибка: путают график функции и график её производной. Прочитайте подпись к рисунку и ответьте себе, чей это график, прежде чем что-то считать.

Третья ошибка: забывают про концы отрезка. Если производная на всём отрезке одного знака, критических точек внутри нет, и наибольшее значение достигается на одном из концов.

Четвёртая ошибка: теряют множитель при дифференцировании сложной функции. Производная $e^{2x}$ равна $2e^{2x}$, а не $e^{2x}$.

Как проверить себя

Подставьте в функцию точку, найденную как экстремум, и соседние точки слева и справа. Для максимума значение в найденной точке должно быть больше обоих соседних. Кроме того, ответ в заданиях первой части является целым числом или конечной десятичной дробью. Если получилось иррациональное число, ещё раз проверьте производную и расстановку знаков.

Итог

Знак производной управляет ростом функции. Экстремум находится по смене знака, наибольшее и наименьшее значения на отрезке ищутся среди критических точек и концов. Ответом в задании на точку экстремума служит $x$, а в задании на значение служит $y$. Закрепите алгоритм на заданиях банка номеров 8 и 12.