Проценты: изменение величины и последовательные скидки

Задачи на проценты встречаются в базовом экзамене несколько раз: в практических расчётах, при выборе самого выгодного тарифа и в отдельном задании на проценты. Хорошая новость в том, что почти все такие задачи решаются одной идеей: проценты нужно превращать в множители. Разберём её по шагам.

Что такое процент

Один процент означает одну сотую часть величины. Поэтому 15% от числа $a$ равны $0{,}15a$, 7% равны $0{,}07a$, а 120% равны $1{,}2a$. Чтобы найти процент от числа, достаточно умножить число на десятичную дробь.

Обратная задача: какую долю одно число составляет от другого. Делим часть на целое и умножаем на 100%. Например, 45 рублей от 180 рублей составляют $\frac{45}{180} = 0{,}25$, то есть 25%.

Изменение на несколько процентов

Самое полезное правило урока: если величина увеличилась на $p\%$, новое значение получается умножением на $1 + \frac{p}{100}$. Если уменьшилась на $p\%$, умножаем на $1 - \frac{p}{100}$.

Так, повышение цены на 15% означает умножение на 1,15, скидка 8% означает умножение на 0,92, а налог 13% оставляет на руках 87% суммы, то есть множитель 0,87. Не нужно отдельно считать «сколько составляет скидка» и потом вычитать: один множитель сразу даёт ответ и уменьшает число действий, а значит, и вероятность ошибки.

Если известны старое и новое значения, процент изменения находят так: разность делят на старое значение. Именно на старое, потому что проценты всегда считаются от того, что было до изменения.

Последовательные изменения

Если цену сначала повысили на 10%, а потом понизили на 10%, она не вернётся к исходной. Множители перемножаются: $1{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}99$. Итоговая цена составляет 99% исходной, то есть уменьшилась на 1%. Проценты нельзя просто складывать, потому что вторая скидка считается уже от новой цены.

Разобранный пример 1

Условие. Шариковая ручка стоит 38 рублей. Какое наибольшее число ручек можно купить на 500 рублей после повышения цены на 15%?

Решение. Новая цена: $38 \cdot 1{,}15 = 43{,}7$ рубля. Делим бюджет на цену: $500 : 43{,}7 \approx 11{,}4$. Купить 11,4 ручки нельзя, а на 12 ручек денег не хватит, поэтому округляем с недостатком. Проверка: $11 \cdot 43{,}7 = 480{,}7 \le 500$, а $12 \cdot 43{,}7 = 524{,}4 \gt 500$.

Ответ: 11.

Обратите внимание на округление. Когда спрашивают, сколько предметов можно купить или сколько целых упаковок хватит, округляют вниз. Когда спрашивают, сколько автобусов, пакетов или рулонов нужно, чтобы хватило на всех, округляют вверх. Перед ответом полезно подставить соседние целые числа и убедиться, что выбрано верное.

Разобранный пример 2

Условие. Рубашка стоила 1600 рублей, после снижения цены она стоит 1320 рублей. На сколько процентов снижена цена?

Решение. Цена уменьшилась на $1600 - 1320 = 280$ рублей. Делим на старую цену:

Частая ошибка: разделить на новую цену 1320. Получится около 21,2%, и это неверно, ведь скидка считается от цены до изменения.

Ответ: 17,5.

Проценты в задачах на выбор

В задании на оптимальный выбор проценты часто спрятаны в условиях: скидка при покупке больше определённого количества, бесплатная доставка от некоторой суммы, запас материала 10%. Действуйте аккуратно: для каждого варианта отдельно посчитайте полную стоимость, записывая промежуточные результаты. Условия вроде «доставка бесплатна, если заказ не меньше 6000 рублей» проверяйте именно по сумме заказа, а не по итоговой сумме с доставкой.

Типичные ошибки

Первая ошибка: складывать последовательные проценты. Повышение на 20% и ещё на 20% дают не 40%, а 44%, потому что $1{,}2 \cdot 1{,}2 = 1{,}44$.

Вторая ошибка: считать процент изменения от нового значения. Всегда делите на старое.

Третья ошибка: неверно округлять в практических задачах. Сначала решите, что спрашивают: «сколько можно купить» или «сколько нужно заказать».

Четвёртая ошибка: записывать в ответ знак процента или единицы измерения. В бланк пишется только число, например 17,5.

Как проверить себя

После вычислений полезно оценить ответ на правдоподобие. Скидка не может сделать цену отрицательной, а после повышения цена обязана вырасти. Если товар подешевел на 17,5%, новая цена должна быть примерно на одну шестую меньше старой: 1600 без одной шестой дают около 1330, что близко к 1320. Такая прикидка занимает несколько секунд и ловит большинство ошибок с запятой или с выбором базы процента.

Итог

Процент превращаем в множитель, последовательные изменения перемножаем, процент изменения считаем от старого значения, а в практических задачах внимательно выбираем направление округления. Этих четырёх правил достаточно для большинства заданий на проценты в базовом экзамене. Дальше закрепите навык на заданиях банка по номерам 1, 6 и 15.