Дискриминант без паники: куда исчезает второй корень

Отрицательный дискриминант — это не ошибка вычислений сам по себе. Он говорит, что у квадратного уравнения нет действительных корней. Но прежде чем делать вывод, стоит проверить знаки коэффициентов: именно здесь часто теряется правильное решение.

Ниже — учебные примеры для повторения алгебры. Мы не привязываем их к номеру экзаменного задания: состав и формулировки варианта нужно сверять с материалами своего года.

Сначала привести к одному виду

Рабочая запись — $ax^2+bx+c=0$, где $a\ne0$. В уравнении $2x^2=5x-2$ сначала переносим всё влево: $2x^2-5x+2=0$. Получается $a=2$, $b=-5$, $c=2$. Коэффициент $b$ равен именно минус пяти, а не пяти.

Теперь $D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9$. Скобки важны: $(-5)^2=25$, тогда как запись $-5^2$ означает отрицание квадрата и даёт минус двадцать пять.

Два корня — две отдельные подстановки

Используем формулу $x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}$. В нашем примере это $x=\frac{5\pm3}{4}$, то есть $2$ и $0{,}5$. Знаменатель относится ко всему числителю. Выражение $5+3/4$ — совсем другое число.

Проверим меньший корень в исходной записи: слева $2\cdot0{,}5^2=0{,}5$, справа $5\cdot0{,}5-2=0{,}5$. Для второго корня слева и справа получится восемь. Обе проверки нужны: одна удачная подстановка ничего не говорит о другом найденном значении.

Что происходит при нуле

Уравнение $x^2-6x+9=0$ можно записать как $(x-3)^2=0$. Единственное значение $x$ — три. Формула тоже дважды выдаёт три, потому что прибавление и вычитание нуля совпадают. Это один различный корень, который называют двойным.

В задаче о числе корней ответ зависит от точной формулировки. В обычном школьном вопросе «сколько корней?» для этого случая отвечают «один». Не записывайте «два», только потому что в общей формуле есть знак плюс-минус.

Если дискриминант отрицательный

Для $x^2+4x+5=0$ получаем $D=16-20=-4$. Есть и наглядная проверка: $(x+2)^2+1$ положительно при любом действительном $x$, значит, нулём не станет. Это не означает, что все квадратные уравнения с положительным свободным членом не имеют корней: предыдущий пример сразу опровергает такую догадку.

Формулу и условия применения можно сверить с главой OpenStax о квадратных уравнениях. Наши числа и разборы — отдельные учебные примеры.

Три проверки перед ответом

Решите $x^2-7x+12=0$, $x^2+2x+1=0$ и $x^2+2x+2=0$. Ответы: три и четыре; минус один; действительных корней нет. Для каждого случая назовите знак дискриминанта, а затем объясните ответ без повторного использования формулы.

Если потерялся знак, вернитесь к выписанным коэффициентам. Если знак верный, а корни не подходят, проверьте общий знаменатель. Продолжить можно в математике ОГЭ или в профильной математике ЕГЭ: выбирайте тему уравнений, а не случайный сложный вариант целиком.