Минус переворачивает знак: как не потерять решение неравенства

При делении неравенства на отрицательное число знак меняется. Это правило выглядит как маленькая техническая деталь, но ошибка в нём переворачивает весь ответ. Разберём его через числа, прямую и короткие задачи.

Почему порядок меняется

Мы знаем, что $2<5$. Умножим обе части на минус один: получится $-2>-5$. На числовой прямой минус два находится правее минус пяти. Умножение на отрицательное число меняет порядок, а не просто дописывает минус к записи.

С положительным множителем всё иначе: из $2<5$ следует $6<15$. При прибавлении одинакового числа к обеим частям знак тоже сохраняется. Поэтому сначала стоит назвать действие, которое вы выполняете, и только потом решать, нужен ли разворот знака.

Один пример до конца

Решим $7-2x\le1$. Вычитаем семь из обеих частей: $-2x\le-6$. Делим на минус два и меняем знак: $x\ge3$.

Возьмём контрольное число четыре. Исходная левая часть равна $7-8=-1$, а $-1\le1$ — верно. Теперь возьмём два: получится три, и $3\le1$ — неверно. Проверки согласуются с ответом «три и больше».

Саму границу тоже проверяем: при $x=3$ левая часть равна одному, а знак допускает равенство. Значит, тройка входит в решение. На прямой это закрашенная точка; в интервальной записи — квадратная скобка: $[3;+\infty)$.

Строгий знак меняет только границу

Для $7-2x<1$ вычисления те же, но ответ будет $x>3$. Тройка уже не подходит, потому что равенство один меньше одного неверно. Луч идёт вправо, точка пустая, запись — $(3;+\infty)$.

Не перепутайте две независимые вещи: направление луча отвечает на вопрос «меньше или больше», а вид точки — на вопрос «включаем ли границу». По пустой точке нельзя определить направление.

Почему нельзя сразу делить на икс

В выражении $x(x-2)>0$ знак самого $x$ неизвестен. Если разделить обе части на него и без условий оставить знак прежним, часть решений потеряется. Кроме того, делить на ноль нельзя. Для такого примера удобнее метод интервалов: отдельно учитываются точки нуля и знаки множителей между ними.

Пока закрепляем линейные неравенства с известным числовым коэффициентом. Это честная граница метода: при неизвестном знаке множителя нужны дополнительные случаи, а не механическое продолжение той же строки.

Проверьте правило в четырёх ситуациях

1. $3x>12$: получаем $x>4$, знак сохраняется.
2. $-3x>12$: получаем $x<-4$, знак меняется.
3. $x+3\le8$: получаем $x\le5$, вычитание знак не меняет.
4. $5-2x\ge11$: получаем $x\le-3$; граничное значение подходит.

Нарисуйте каждое множество, выберите число внутри луча и число снаружи, проверьте их в исходной строке. Такой контроль полезнее, чем переписывать правило десять раз. Для дальнейшей тренировки откройте курс математики ОГЭ или базовую математику ЕГЭ.