Проценты встречаются почти везде: в практических задачах ОГЭ, в заданиях базовой математики, в текстовых задачах и экономической задаче профильного ЕГЭ. Ошибаются в них чаще всего из-за того, что процент посчитан не от той величины.
Ниже основные ситуации на конкретных числах. Все расчёты проверены, их можно повторить на калькуляторе или в Python. Главная идея статьи: изменение на p% удобно записывать как умножение на множитель.
Процент от числа и число по проценту
Процент означает сотую часть: 1% = 1/100 = 0,01.
Процент от числа. Найти 15% от 240: 240 · 0,15 = 36.
Число по его проценту. 18% числа равны 45. Тогда всё число равно 45 / 0,18 = 250. Проверка: 250 · 0,18 = 45.
Сколько процентов одно число составляет от другого. 36 от 240: 36 / 240 · 100 = 15%.
Во всех трёх задачах помогает один вопрос: что здесь принято за 100%? Обычно это величина, с которой сравнивают, или величина «до» изменения.
Больше на 25%, меньше на 20%
Фраза «A на 25% больше B» означает, что за 100% взято B: A = 1,25 · B. Пусть B = 800, тогда A = 1000.
Теперь обратный вопрос: на сколько процентов B меньше A? Здесь за 100% взято уже A. Разница та же, 200, но делим её на 1000: 200 / 1000 = 0,2, то есть B на 20% меньше A. Через множители: B = A / 1,25 = 0,8 · A.
Разница одна и та же, а проценты разные, потому что их считают от разных чисел. В условии база сравнения стоит после слова «чем» или «от»: «на сколько процентов A больше, чем B» считаем от B.
Общее правило: если A больше B на p%, то B меньше A на p / (100 + p) · 100%. Для p = 25 это 25 / 125 · 100 = 20%. Для p = 50 получается 50 / 150 · 100 ≈ 33,3%. Для p = 100 ровно 50%: вдвое больше означает «на 100% больше», а в обратную сторону «на 50% меньше».
Подорожание и подешевление
Товар стоил 1000 ₽, подорожал на 20%, затем подешевел на 20%.
- После подорожания: 1000 · 1,2 = 1200 ₽.
- После подешевления: 1200 · 0,8 = 960 ₽.
Итог: цена уменьшилась на 40 ₽, то есть на 4%. Через множители это видно сразу: 1,2 · 0,8 = 0,96. Порядок изменений роли не играет: 0,8 · 1,2 тоже 0,96.
Сколько процентов нужно скинуть, чтобы после подорожания на 20% вернуться к 1000 ₽? Снизить надо 200 ₽ от 1200 ₽: 200 / 1200 = 1/6 ≈ 16,7%. Не 20%.
Типовые множители
| Изменение | Множитель |
|---|---|
| +10% | ×1,1 |
| +20% | ×1,2 |
| +25% | ×1,25 |
| +50% | ×1,5 |
| +100% | ×2 |
| −10% | ×0,9 |
| −20% | ×0,8 |
| −25% | ×0,75 |
| −50% | ×0,5 |
| +p% | ×(1 + p/100) |
| −p% | ×(1 − p/100) |
Несколько изменений подряд означают произведение множителей. Два подорожания по 10%: 1,1 · 1,1 = 1,21, то есть +21%, а не +20%.
Процентные пункты
Ставка по вкладу выросла с 8% до 10%. Сказать «выросла на 2%» будет неточно, потому что возможны два ответа:
- на 2 процентных пункта (п. п.): 10 − 8 = 2, просто разность процентов;
- на 25%: (10 − 8) / 8 = 0,25, изменение относительно старой ставки.
Если ставка упала с 10% до 8%, это минус 2 п. п. и минус 20%: (8 − 10) / 10 = −0,2. В задачах внимательно читайте, о чём спрашивают: о разности процентов или об изменении величины в процентах.
Сложные проценты
Вклад 100 000 ₽ под 10% годовых с ежегодной капитализацией: проценты в конце года прибавляются к вкладу, и на следующий год начисляются уже на новую сумму.
| Год | Расчёт | Сумма на вкладе |
|---|---|---|
| 1 | 100 000 · 1,1 | 110 000 ₽ |
| 2 | 110 000 · 1,1 | 121 000 ₽ |
| 3 | 121 000 · 1,1 | 133 100 ₽ |
Общая формула: через n лет сумма равна S · (1 + p/100)ⁿ. Здесь 100 000 · 1,1³ = 100 000 · 1,331 = 133 100 ₽. Без капитализации (проценты не прибавляются к вкладу) за три года начислили бы 3 · 10 000 = 30 000 ₽, итого 130 000 ₽. Разница 3 100 ₽ получается как раз из процентов на проценты.
Та же формула работает и для уменьшения. Если величина два года подряд уменьшается на 10%, множитель равен 0,9² = 0,81. Например, 50 000 → 45 000 → 40 500. Итоговое уменьшение 19%, а не 20%.
Бывает и обратная задача. За два года при постоянной ставке вклад вырос со 100 000 ₽ до 121 000 ₽. Годовой множитель k удовлетворяет условию k² = 121 000 / 100 000 = 1,21, откуда k = 1,1, то есть ставка 10% годовых.
Проверить такие расчёты можно короткой программой:
Pythondeposit = 100_000
rate = 0.10
for year in range(1, 4):
deposit = round(deposit * (1 + rate), 2)
print(year, deposit) # 1 110000.0, 2 121000.0, 3 133100.0
Кредит с двумя равными платежами
В модели профильного ЕГЭ-2027 финансовые расчёты относятся к заданию №13 с кратким ответом. Навык составлять модель по условию пригодится и в более сложных задачах. Схема обычно одна: в начале каждого года долг увеличивается на p%, затем заёмщик делает платёж.
Условие. Кредит 2 100 000 ₽ взят под 10% годовых и погашается двумя равными ежегодными платежами. Найдите платёж.
Вывод формулы. Обозначим долг S, платёж X, множитель k = 1 + p/100 = 1,1.
- После начисления в первый год долг равен S · k, после платежа: S · k − X.
- Во второй год: (S · k − X) · k − X. Кредит погашен, значит, это 0.
Раскрываем скобки: S · k² − X · k − X = 0, откуда S · k² = X · (k + 1) и
X = S · k² / (k + 1).
Подстановка. k² = 1,21, k + 1 = 2,1. X = 2 100 000 · 1,21 / 2,1 = 2 541 000 / 2,1 = 1 210 000 ₽.
Проверка по годам.
| Год | Долг после начисления | Платёж | Долг после платежа |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 100 000 · 1,1 = 2 310 000 | 1 210 000 | 1 100 000 |
| 2 | 1 100 000 · 1,1 = 1 210 000 | 1 210 000 | 0 |
Всего выплачено 2 · 1 210 000 = 2 420 000 ₽, переплата 320 000 ₽. Проверку по годам полезно делать в любой экономической задаче: она ловит ошибки в формуле раньше, чем их найдёт проверяющий.
Код для той же проверки:
Pythondebt = 2_100_000
k = 1.1
payment = debt * k**2 / (k + 1)
print(round(payment)) # 1210000
for year in (1, 2):
debt = round(debt * k - payment)
print(year, debt) # 1 1100000, затем 2 0
Проверьте себя. Как изменится формула, если платежей три? Запишите долг после каждого года так же, как выше, и приравняйте последний к нулю.
Смеси и концентрации
Главное правило: следите за массой чистого вещества, она складывается.
Задача. Смешали 200 г 10-процентного раствора соли и 300 г 20-процентного. Какова концентрация смеси?
- Соли в первом растворе: 200 · 0,1 = 20 г.
- Соли во втором: 300 · 0,2 = 60 г.
- Всего соли 80 г, масса смеси 500 г.
- Концентрация: 80 / 500 = 0,16, то есть 16%.
Складывать проценты (10% + 20%) или брать их среднее (15%) нельзя: растворов взяли разное количество. Ответ всегда лежит между исходными концентрациями, это удобная проверка.
Как такие задачи выглядят в практическом блоке ОГЭ, разобрано в статье ОГЭ по математике: что решать первым. Про экономическую задачу подробнее на странице профильной математики.
Коротко
- Всегда выясняйте, что принято за 100%.
- Изменение на p% равносильно умножению на (1 ± p/100), несколько изменений подряд перемножаются.
- +20% и затем −20% дают −4%, два раза по −10% дают −19%.
- Процентные пункты показывают разность процентов, а проценты показывают изменение относительно старого значения.
- Сложные проценты: S · (1 + p/100)ⁿ; кредит двумя равными платежами: X = S · k² / (k + 1).
- В смесях складывайте массу вещества, а не проценты.