Квадратные уравнения: дискриминант и теорема Виета

Квадратные уравнения встречаются в ОГЭ постоянно: в задании 9 их нужно решить и записать корень, в задании 20 они появляются внутри более сложных уравнений и систем, в текстовой задаче 21 к ним обычно сводится составленное уравнение. Разберём надёжный способ решения и несколько приёмов, которые экономят время.

Общий вид и дискриминант

Квадратным называется уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \ne 0$. Число $D = b^2 - 4ac$ называется дискриминантом. От его знака зависит количество корней:

Перед вычислением полезно привести уравнение к стандартному виду: перенести всё в левую часть, раскрыть скобки, привести подобные. Если все коэффициенты делятся на одно число, разделите на него: числа станут меньше, ошибок будет меньше.

Разобранный пример 1

Условие. Решите уравнение $x^2 + 3x - 40 = 0$. Если корней несколько, запишите меньший.

Решение. Здесь $a = 1$, $b = 3$, $c = -40$.

Проверка подстановкой: $64 - 24 - 40 = 0$ и $25 + 15 - 40 = 0$. Меньший корень $-8$.

Ответ: −8.

Теорема Виета

Если $x_1$ и $x_2$ являются корнями приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$ (коэффициент при $x^2$ равен 1), то

Теорема удобна для быстрой проверки и для подбора корней. В примере выше сумма корней $-8 + 5 = -3$, а произведение $-40$: всё сходится. Если произведение корней отрицательно, корни разных знаков; если положительно, одного знака, и тогда знак суммы подскажет, какого именно. Этим рассуждением часто пользуются в задачах с параметром и при построении графиков.

Неполные квадратные уравнения

Если $b = 0$ или $c = 0$, дискриминант не нужен. Уравнение $x^2 - 9 = 0$ решается переносом: $x^2 = 9$, $x = \pm 3$. Уравнение $x^2 - 5x = 0$ решается вынесением множителя: $x(x - 5) = 0$, откуда $x = 0$ или $x = 5$. Частая ошибка в таком уравнении: разделить обе части на $x$ и потерять корень 0.

Уравнения, которые сводятся к квадратным

Во второй части встречаются уравнения четвёртой степени и уравнения с дробями. Основные приёмы: замена переменной (например, $t = x^2$ в биквадратном уравнении), разложение на множители, перенос всех слагаемых в одну сторону и применение формулы разности квадратов.

Разобранный пример 2

Условие. Решите уравнение $x^4 = (2x - 3)^2$.

Решение. Перенесём всё влево и применим разность квадратов:

Первый множитель: $x^2 - 2x + 3 = 0$, дискриминант $4 - 12 = -8 \lt 0$, корней нет. Второй множитель: $x^2 + 2x - 3 = 0$, по теореме Виета корни $1$ и $-3$ (сумма $-2$, произведение $-3$).

Ответ: −3; 1.

Обратите внимание: если бы мы просто извлекли корень и написали $x^2 = 2x - 3$, второй случай $x^2 = -(2x - 3)$ был бы потерян, а вместе с ним и все корни. Равенство квадратов $A^2 = B^2$ всегда означает $A = B$ или $A = -B$.

Как оформить решение во второй части

В задании 20 проверяют обоснованность. Запишите каждое равносильное преобразование, укажите, почему множитель не обращается в ноль или почему нет корней (например, «дискриминант отрицателен»), и в конце выпишите ответ отдельной строкой. Если в уравнении есть дробь, обязательно укажите, при каких $x$ знаменатель не равен нулю, и проверьте найденные корни.

Как выбрать способ решения

Перед тем как считать дискриминант, посмотрите на уравнение внимательно. Если нет свободного члена, выносите $x$ за скобки. Если нет слагаемого с $x$, переносите число вправо. Если коэффициент при $x^2$ равен 1, а свободный член раскладывается на удобные множители, попробуйте подобрать корни по теореме Виета. Если коэффициент $b$ чётный, можно пользоваться формулой с половиной коэффициента, она уменьшает числа под корнем. И только если ничего из этого не подходит, считайте дискриминант по общей формуле. Выбор способа занимает несколько секунд, а экономит минуты.

Квадратное уравнение в текстовой задаче

В задачах на движение и работу квадратное уравнение возникает после того, как вы приравниваете разность времён к известному числу и избавляетесь от знаменателей. Получив два корня, обязательно проверьте их по смыслу задачи. Скорость, время и производительность положительны, скорость теплохода против течения должна быть больше скорости течения, число рабочих должно быть натуральным. Обычно один корень отбрасывается как отрицательный, и это нужно явно написать в решении, иначе эксперт снимет балл за неполное обоснование.

Типичные ошибки

Первая ошибка: неверный знак в дискриминанте, когда $c$ отрицательно. Выражение $-4ac$ при $a = 1$ и $c = -40$ равно $+160$, а не $-160$.

Вторая ошибка: деление обеих частей уравнения на выражение с переменной и потеря корня.

Третья ошибка: в ответ записан не тот корень. Если просят меньший корень, сравните отрицательные числа внимательно: $-8$ меньше, чем $5$.

Четвёртая ошибка: пропущена проверка области определения, когда в уравнении есть дробь. Корень, при котором знаменатель обращается в ноль, нужно исключить.

Итог

Приведите уравнение к стандартному виду, посчитайте дискриминант, найдите корни и проверьте их по теореме Виета или подстановкой. Неполные уравнения решайте без дискриминанта, а сложные уравнения сводите к квадратным заменой или разложением на множители. Закрепите навык на заданиях банка номеров 9 и 20.